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Das Muster im Zufall

von CHRISTOPH DRÖSSER

Zwei große Rätsel über Primzahlen sind der Lösung ein Stück näher gekommen.

Das Muster im Zufall© kleinermann82 - Fotolia.comPrimzahlen - ein Rätsel in der Mathematik
Forschung ist heutzutage ein Mannschaftssport - große Durchbrüche werden meist von Teams erreicht. Das gilt im Prinzip auch für die Mathematik, aber hier passiert es doch ab und zu, dass ein einzelner Wissenschaftler nach jahrelanger Eremitenarbeit in seiner Studierstube mit einem bahnbrechenden Ergebnis aufwartet und ein Problem löst, an dem sich seine Kollegen jahre-, manchmal jahrhundertelang die Zähne ausgebissen haben.

Im Mai ist das gleich zweimal geschehen, und beide Male ging es um Primzahlen. Zuerst sorgte ein weitgehend unbekannter Mathematiker für weltweites Aufhorchen: Yitang Zhang, ein chinesischer Einwanderer in den USA mit Lehrauftrag an der University of New Hampshire, bewies einen mathematischen Satz, der die Fachwelt in Verzückung versetzte. Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Sie sind die Atome der Zahlenwelt, die kleinsten Faktoren, in die man alle anderen Zahlen auf eindeutige Weise zerlegen kann. Die Reihe beginnt mit 2, 3, 5 und 7, und sie lässt sich unendlich weit fortsetzen, das hat schon der alte Grieche Euklid gezeigt.

Zwar gibt es unendlich viele Primzahlen, aber sie werden mit zunehmender Größe immer seltener. So sind unter den ersten 100 Zahlen 25 prim, zwischen 1.000.000 und 1.000.100 sind es nur noch 6. Die Frage, die bislang ungelöst war, lautet: Werden die Lücken zwischen ihnen immer größer, oder gibt es auch unter den hohen Primzahlen solche, die dicht aufeinanderfolgen? Gibt es gar immer wieder Paare von Primzahlen mit dem Abstand 2, wie 11 und 13 oder 1.000.037 und 1.000.039? »Primzahlzwillinge« heißen solche Pärchen. Und die Frage ist: Gibt es von ihnen unendlich viele oder nicht? Auch darüber soll sich schon Euklid den Kopf zerbrochen haben. Yitang Zhang hat zwar nicht dieses uralte Problem gelöst, aber er konnte zeigen, dass die Abstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen nicht über alle Maßen wachsen. Genauer gesagt: Es gibt immer wieder Pärchen, deren Abstand kleiner ist als 70 Millionen.

Der Laie mag lachen angesichts dieser riesigen Zahl, für Mathematiker dagegen ist der erste Nachweis eines solchen endlichen Höchstabstandes eine Sensation. Nun gilt es »nur« noch, diesen Wert schrittweise zu verkleinern. Dass der Wert letztlich 2 ist, es also auch unter den seltener werdenden hohen Primzahlen immer wieder Zwillinge gibt, bezweifelt eigentlich keiner, der sich ein bisschen mit Zahlentheorie auskennt. Der Grund ist, dass die Primzahlen Gesetzen gehorchen, die auf den ersten Blick paradox erscheinen: So ist zwar die Eigenschaft, prim zu sein, ein höchst individuelles Merkmal jeder einzelnen Zahl, und es gibt keine Formel, die alle Primzahlen ausspuckt. Dennoch gehorcht ihre Verteilung statistischen Gesetzen. Für jede noch so hohe Zahl x kann man die Zahl der Primzahlen, die kleiner sind als x, näherungsweise ziemlich gut berechnen. Primzahlen größer als 5 müssen, wie man sich leicht überlegen kann, auf 1, 3, 7 oder 9 enden. Ansonsten verteilen sie sich so, als wären sie - entsprechend einer gewissen Wahrscheinlichkeit - zufällig gezogen wie Lottozahlen. Das ist so ähnlich wie mit den Ziffern der Kreiszahl Pi - auch die liegen einerseits eindeutig fest, andererseits unterscheidet sich ihre Folge in nichts von einer völlig zufälligen Ziffernfolge.

Wenn man aber für jede Zahl die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, eine Primzahl zu sein, dann kann man auch berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen prim sind. Die resultierende Formel ergibt ziemlich genau die tatsächliche Zahl der bisher gefundenen Primzahlzwillinge - unter der ersten Billiarde Zahlen sind zum Beispiel etwa 1,1 Billionen solche Zwillinge, alle 1.000 Zahlen einer. »Die Zahlentheoretiker erwarten eine große Zahl von Primzahlzwillingen - nicht weil wir glauben, dass in den Primzahlen eine tiefgründige, wundersame Struktur versteckt ist, sondern weil wir es gerade nicht glauben«, schreibt der amerikanische Mathematiker Jordan Ellenberg in seinem Blog. Solche statistischen Abschätzungen zählen allerdings nicht als Beweis. Um wirklich schlüssig zu begründen, dass richtig ist, was alle für richtig halten, benötigte Zhang sehr viel komplexe Mathematik, die sich teilweise in hochdimensionalen geometrischen Räumen abspielt. Und seine Kollegen bezweifeln, dass dieses Instrumentarium ausreicht, die Lücke wirklich bis herunter auf den Wert 2 zu verkleinern.

Die Zahlentheorie ist voll von solchen Vermutungen, von denen jeder glaubt, dass sie wahr sind, die sich aber bisher gegen einen Beweis gesträubt haben. Eine weitere ist die Goldbachsche Vermutung, die der Mathematiker Christian Goldbach 1742 in einem Brief an Leonhard Euler formulierte: Demnach lässt sich jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen darstellen. Auch hier glauben die Mathematiker, die Statistik auf ihrer Seite zu haben. Mit der Größe einer geraden Zahl wächst tendenziell die Zahl ihrer Zerlegungen in zwei Primzahlen. Kein Experte kann sich vorstellen, dass plötzlich eine unzerlegbare große Zahl auftaucht. Der strenge Beweis fehlt. Aber am selben Tag, an dem Zhang sein Ergebnis vorstellte, präsentierte der in Paris lehrende Peruaner Harald Helfgott das letzte Mosaiksteinchen in seinem Beweis für die sogenannte Schwache Goldbachsche Vermutung, nach der jede ungerade Zahl größer als 5 sich als Summe von drei Primzahlen darstellen lässt.

Sowohl Helfgotts als auch Zhangs Beweis werden nun von der mathematischen Community genauer unter die Lupe genommen. Die großen mathematischen Rätsel, die sich um die Primzahlen ranken, scheinen also einer Lösung immer näher zu kommen. Das nährt Hoffnungen, dass auch das Königsproblem der Zahlentheorie in Reichweite rückt, die sogenannte Riemannsche Vermutung. Wer die löst, dem winken nicht nur Ruhm und Ehre, sondern auch ein Preisgeld von einer Million Dollar, das die Clay Foundation ausgesetzt hat. Das Nachdenken kann sich also lohnen.

Aus DIE ZEIT :: 27.06.2013

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