David Hilbert: der Einstein der Mathematik    
VON GÜNTER M. ZIEGLER UND ANDREAS LOOS

Paris, August 1900. Die erste Metro-Linie fährt seit einem knappen Monat, die Olympischen Spiele halten die Stadt in Atem, und die Weltausstellung präsentiert Visionen von den Fortschritten des bevorstehenden 20. Jahrhunderts. Vielleicht haben dieser Rummel und das heiße Wetter die Wissenschaftler abgeschreckt: Nur 230 der ursprünglich erwarteten 1000 Teilnehmer sind zum zweiten Internationalen Mathematikerkongress gekommen. Unter ihnen ist der 38-jährige David Hilbert, ein Professor aus Göttingen. Man erwartet von dem Vorsitzenden der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) eine Rückschau auf die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Doch der Redner blickt nicht zurück, sondern nach vorn. Bis zur letzten Minute hat er an seinem Vortrag mit dem Titel Mathematische Probleme gefeilt. Hilbert will der Disziplin mit seiner Liste von ungelösten Fragen ein Programm für die nächsten Jahrzehnte vorgeben.

»Wer von uns würde nicht gern den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unsrer Wissenschaft und in die Geheimnisse ihrer Entwickelung während der künftigen Jahrhunderte!«, beginnt er seinen auf Deutsch gehaltenen Vortrag. Die zehn Probleme, die er vorstellt, gehen quer durch alle Gebiete des Fachs: Mengenlehre, Zahlentheorie, Geometrie, Beweistheorie, Differenzialgleichungen, bis hin zur mathematischen Physik. Noch im selben Jahr wird eine erweiterte Liste publiziert - mit 23 Problemen, zwei Jahre später folgt die englische Version. Die Hilbert-Probleme werden auch international Meilensteine auf dem Weg der Mathematik ins 20. Jahrhundert.

Max Dehn, ein Doktorand Hilberts, knackte als Erster eines der Probleme. Noch im Jahr 1900 konnte er die Aufgabe Nummer drei lösen (über die »Zerlegungsgleichheit von Polyedern«). Heute sind die meisten der 23 Probleme entweder geklärt - oder haben sich als unlösbar herausgestellt. David Hilbert, der vor 150 Jahren, am 23. Januar 1862, geboren wurde, war kein Popstar wie Einstein. Aber er war ein Revolutionär von ganz ähnlicher Bedeutung für seine Disziplin. Er war einer der Letzten seines Fachs, die die gesamte Mathematik und mathematische Physik überblickten. Schon vor seiner aufsehenerregenden Vorlesung in Paris war er längst kein No-Name mehr. Seit seiner ersten Veröffentlichung 1885 hatte er sich einen Namen als jemand erarbeitet, dem es um die grundsätzliche Ordnung und Struktur ging: Zu seinen 50 Publikationen, die bereits erschienen waren, gehörte das Buch Grundlagen der Geometrie von 1899. Sieben Jahre zuvor hatte er durch systematische Untersuchungen vollständig die großen Probleme der sogenannten Invariantentheorie gelöst und damit Paul Gordan aus Erlangen düpiert, den weithin anerkannten Großmeister dieser Disziplin, von dem dann frustriert zu hören war: »Das ist keine Mathematik, sondern Theologie.«

Tatsächlich ging Hilbert die Mathematik sehr fundamental an. Nicht am Rechnen war ihm gelegen, sondern an den dahintersteckenden abstrakten Strukturen: Hilbert hielt die Mathematik für ein formales Spiel, strukturiert durch Regeln. In der Geometrie hatte man jahrtausendelang Euklid nachgebetet: »Eine Strecke ist eine Länge ohne Breite« - Geometrie als Formalisierung unserer intuitiven Vorstellungen von Punkten, Strecken und Dreiecken. Von dieser konkreten Sicht auf die Dinge löste sich Hilbert. Stattdessen stellte er Regeln auf (»Axiome«), die in jeder Geometrie gelten müssen - zum Beispiel: »Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade.« Die Axiome beschreiben Beziehungen der Objekte untereinander: Struktur statt konkreter Anschauung. Statt »Punkte, Geraden, Ebenen« müsse man jederzeit auch »Liebe, Gesetz, Schornsteinfeger« oder »Tische, Stühle, Bierseidel« sagen können, so sein Credo. Sein radikaler Bruch mit der Anschauung wurde ein Exportschlager. Hilbert machte die Universität Göttingen in dieser Zeit zum Zentrum der mathematischen Welt. Von hier aus trat die abstrakte Algebra im 20. Jahrhundert ihren Siegeszug an.

Waren die Grundlagen erst einmal ordentlich gelegt, dann mussten auch alle mathematischen Probleme prinzipiell lösbar sein, glaubte der Optimist Hilbert. »Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus!« (Lateinisch: »Wir werden nicht wissen«). Jeder mathematische Satz ist entweder wahr oder falsch, und wenn er wahr ist, lässt er sich auch streng logisch beweisen - so lautete Hilberts unerschütterliche Überzeugung. Doch da irrte der Meister. Offensichtlich wurde das ausgerechnet beim zweiten Problem von Hilberts Liste, das einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Axiome der Arithmetik forderte: In der logischen Welt, die durch die grundlegenden Rechengesetze begründet wird, sollte es keine Sätze geben, die sich gleichzeitig beweisen und widerlegen lassen. Aber 1930 zettelte Kurt Gödel am Rande der Jahrestagungen von DMV und Deutscher Gesellschaft der Naturforscher und Ärzte in Hilberts Heimatstadt Königsberg eine Diskussion an, die in seinen im folgenden Jahr veröffentlichten »Unvollständigkeitssatz« mündete.

Darin zeigte der Österreicher, dass Hilberts Problem Nummer zwei grundsätzlich nicht lösbar ist: In einer Mathematik, in der Zählen und Addieren erlaubt sind, wird es immer Sätze geben, deren Gültigkeit sich weder beweisen noch widerlegen lässt. Die Entwicklung der Mathematik ging weiter und an Hilbert vorbei. Fachlich musste er den Satz Gödels akzeptieren, auch wenn es ihm widerstrebte. Aber das hat er nicht sofort eingesehen: Auf derselben Konferenz, auf der Gödel der Mathematik den Boden unter den Füßen wegzuziehen schien, wurde Hilbert mit der Königsberger Ehrenbürgerwürde ausgezeichnet. In seiner Dankesrede, die sogar das Radio übertrug, bekräftigte er noch einmal seine Überzeugung: »Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, wir werden wissen.« Ungebrochen in seinem wissenschaftlichen Optimismus, musste Hilbert mitansehen, wie sein Göttinger Lebenswerk von den Nationalsozialisten zerstört wurde. Jüdische Mathematiker wurden aus der Universität gedrängt, und schon 1934 sagte er über sein Institut: »Das gibt es doch gar nicht mehr!« Sein Tod im Jahr 1943 wurde in Deutschland kaum beachtet.

Günter M. Ziegler und Andreas Loos lehren am Institut für Mathematik der Freien Universität Berlin.


Aus DIE ZEIT :: 12.01.2011